Nombre d'or
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Depuis l'Antiquité, les géomètres et les philosophes ont cru à l'existence d'une proportion privilégiée que les artistes de la Renaissance appelèrent le "Nombre d'or".
C'est un nombre qui fascine les esprits depuis des millénaires: le nombre d'or, que l'on désigne par la lettre grecque ? (Phi), en référence au sculpteur grec Phidias (500 av JC) qui l'utilisa pour travailler sur la statue d'Athéna décorant le Parthénon à Athènes.
Il semble présent dans la nature, les peintres l'ont utilisé (à l'image de Géricault avec "L'amour vache" ou Dali et encore Picasso).
Histoire
Le nombre d'or à travers le temps
- Il y a 10 000 ans: Temple d'Andros découvert sous la mer des Bahamas
- 2800 av JC: La pyramide de Khéops a des dimensions qui mettent en évidence l'importance que son architecte attachait au nombre d'or.
- Vè siècle avant J-C: Le sculpteur grec Phidias utilise le nombre d'or pour décorer le Parthénon à Athènes, en particulier pour sculpter la statue d'Athéna Parthénos. Il utilise également la racine carrée de 5 comme rapport.
- IIIè siècle avant J-C: Euclide évoque le partage d'un segment en "extrême et moyenne raison" dans le livre VI des Eléments.
- 1498 : Fra Luca Pacioli, un moine professeur de mathématiques, écrit De divina proportione ("La divine proportion").
- Au cours du XXème siècle : des peintres tels Dali et Picasso, ainsi que des architectes comme Le Corbusier, eurent recours au nombre d'or.
Le nombre de tous temps
De tout temps, si on demande à des personnes de dessiner un rectangle quelconque, le format des rectangles sera (dans 75% des cas selon le physiologiste et philosophe allemand Gustav Fechner, en 1876) proche du nombre d'or.
Phi est également appelé "nombre divin". Comme l'ont démontré Léonard de Vinci et bien d'autres après lui, il régit les proportions de la nature. Par exemple, une coquille d'escargot possède une forme en spirale, et le rapport de la largeur de 2 spires consécutives vaut Phi. Et ce n'est pas le seul cas; le corps humain est également régie par cette proportion; de nombreuses études montrent aussi que le rapport entre males et femelles dans une ruche vaut également "phi".
Principes
Propriétés algébrique du nombre d'or
Carré du nombre d'or
Pour calculer le carré du nombre d'or, il suffit de lui ajouter 1: ?² = ? + 1
Inverse du nombre d'or
Pour calculer l'inverse du nombre d'or, il suffit de lui retrancher 1: '1/? = ? + 1à
Puissances du nombre d'or
- ?² = ? + 1
- ?3 = ?² + ? = 2? + 1
- ?4 = 2?² + ? = 2? + 2 + ? = 3? + 2
- ?5 = 3?² + 2? = 3? + 3 + 2? = 5? + 3
- ?6 = 8? + 5
- ?7 = 13? + 8
Les puissances du nombre d'or s'expriment en fonction de phi et de 1 et les coefficients ne sont autres que les nombres de Fibonacci. Pour obtenir une puissance du nombre d'or, il suffit de connaître les deux puissances précédentes et de les additionner, ce qui est exactement le procédé de construction de la suite de Fibonacci!
Applications
Le rectangle d’or
Un rectangle est appelé rectangle d’or si le rapport entre sa longueur et sa largeur est égal au nombre d’or.
Construction
Le tracé d'un rectangle d'or se fait très simplement à l'aide d'un compas, il suffit de pointer le milieu d'un coté d'un carré, pointer l'un des deux angles opposés, puis de rabattre l'arc de cercle sur la droite passant par le coté du carré pointé. (ceci est un « secret » de compagnonnage).
- ABCD est un carré de côté 1.
- K est le milieu du segment [AD].
- On trace un arc de cercle de centre K et de rayon [KC]; il coupe la droite (AD) en E.
- On construit alors F tel que ABFE soit un rectangle.
- ABFE est un rectangle d’or.
Le triangles d'or
Un triangle d'or est un triangle isocèle dont les longueurs des côtés sont dans le rapport du nombre d'or. Leurs angles doivent en conséquence mesurer 36° et 72°.
Nombre d’or et pentagone régulier
Un pentagone régulier est un polygone avec 5 côtés égaux . Le rapport entre une diagonale du pentagone et un côté est égal au nombre d’or. Les cinq angles sont égaux à 108°.
La spirale d'or
Prenez un rectangle d'or (L/l = phi). Enlevez lui un carré formé à partir du plus petit côté. Le rectangle restant est un rectangle d'or! On peut ainsi continuer l'opération à l'infini. Et si maintenant on souhaite relier les côtés opposés des carrés on obtient une spirale logarithmique, dite spirale d'or.
Citations
- Une droite est dite coupée en extrême et moyenne raison quand,
- comme elle est toute entière relativement au plus grand segment,
- ainsi est le plus grand relativement au plus petit.
Euclide, Eléments, livre VI, 3ème définition.
Webographie
En Français
En Anglais
- Fibonacci Spirals
- Phyllotaxis Home: un site sur la phyllotaxie, c'est-à-dire l'agencement des feuilles et des pétales sur les plantes et les fleurs, qui est souvent en rapport avec les nombres de Fibonacci et le nombre d'or.
- Fibonacci Numbers and the Golden Section
