Nombre d'or
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C'est un nombre qui fascine les esprits depuis des millénaires: le nombre d'or, que l'on désigne par la lettre grecque ? (Phi), en référence au sculpteur grec Phidias (500 av JC) qui l'utilisa pour travailler sur la statue d'Athéna décorant le Parthénon à Athènes.
Qu'il s'agisse des proportions d'ensemble ou de certains détails de la structure, l'usage du nombre d'or a toujours garanti un parfait équilibre. Il semble présent dans la nature, les peintres l'ont utilisé (à l'image de Géricault avec "L'amour vache" ou Dali et encore Picasso). Le nombre d'or se définit selon une équation mathématique et c'est pour cela qu'il est magique car il fonctionne dans des cas très différents.
Histoire
Le nombre d'or à travers le temps
- Il y a 10 000 ans: Temple d'Andros découvert sous la mer des Bahamas
- 2800 av JC: La pyramide de Khéops a des dimensions qui mettent en évidence l'importance que son architecte attachait au nombre d'or.
- Vè siècle avant J-C: Le sculpteur grec Phidias utilise le nombre d'or pour décorer le Parthénon à Athènes, en particulier pour sculpter la statue d'Athéna Parthénos. Il utilise également la racine carrée de 5 comme rapport.
- IIIè siècle avant J-C: Euclide évoque le partage d'un segment en "extrême et moyenne raison" dans le livre VI des Eléments.
- 1498 : Fra Luca Pacioli, un moine professeur de mathématiques, écrit De divina proportione ("La divine proportion").
- Au cours du XXème siècle : des peintres tels Dali et Picasso, ainsi que des architectes comme Le Corbusier, eurent recours au nombre d'or.
Le nombre de tous temps
De tout temps, si on demande à des personnes de dessiner un rectangle quelconque, le format des rectangles sera (dans 75% des cas selon le physiologiste et philosophe allemand Gustav Fechner, en 1876) proche du nombre d'or.
Phi est également appelé "nombre divin". Comme l'ont démontré Léonard de Vinci et bien d'autres après lui, il régit les proportions de la nature. Par exemple, une coquille d'escargot possède une forme en spirale, et le rapport de la largeur de 2 spires consécutives vaut Phi. Et ce n'est pas le seul cas; le corps humain est également régie par cette proportion; de nombreuses études montrent aussi que le rapport entre males et femelles dans une ruche vaut également "phi".
Principes
Le nombre d'or a une propriété bien particulière :Chaque puissance est la somme des deux précédentes : ?² = ? + 1; ?^2 = 2? + 1; ?^3 = 3? + 1...
Le partage en "extrême et moyenne raison" d'un segment
Un segment est partagé suivant la section d'or ou la proportion divine si les rapport x / y et y / (x - y) sont égaux, ce qui signifie que le petit et le moyen segment sont dans le même rapport que le moyen et le grand segment.
Applications
Le rectangle d’or
Un rectangle est appelé rectangle d’or si le rapport entre sa longueur et sa largeur est égal au nombre d’or.
Construction
Le tracé d'un rectangle d'or se fait très simplement à l'aide d'un compas, il suffit de pointer le milieu d'un coté d'un carré, pointer l'un des deux angles opposés, puis de rabattre l'arc de cercle sur la droite passant par le coté du carré pointé. (ceci est un « secret » de compagnonnage).
- ABCD est un carré de côté 1.
- K est le milieu du segment [AD].
- On trace un arc de cercle de centre K et de rayon [KC]; il coupe la droite (AD) en E.
- On construit alors F tel que ABFE soit un rectangle.
- ABFE est un rectangle d’or.
Le triangles d'or
Un triangle d'or est un triangle isocèle dont les longueurs des côtés sont dans le rapport du nombre d'or. Leurs angles doivent en conséquence mesurer 36° et 72°.
Nombre d’or et pentagone régulier
Un pentagone régulier est un polygone avec 5 côtés égaux . Le rapport entre une diagonale du pentagone et un côté est égal au nombre d’or. Les cinq angles sont égaux à 108°.
La spirale d'or
Prenez un rectangle d'or (L/l = phi). Enlevez lui un carré formé à partir du plus petit côté. Le rectangle restant est un rectangle d'or! On peut ainsi continuer l'opération à l'infini. Et si maintenant on souhaite relier les côtés opposés des carrés on obtient une spirale logarithmique, dite spirale d'or.
Citations
- Une droite est dite coupée en extrême et moyenne raison quand,
- comme elle est toute entière relativement au plus grand segment,
- ainsi est le plus grand relativement au plus petit.
Euclide, Eléments, livre VI, 3ème définition.
Webographie
- http://www.ifrance.com/expo/lenombre/Somca.htm
- Les pyramides et le nombre d'or
- Fibonacci Spirals (en)
- Phyllotaxis Home(en): un site sur la phyllotaxie, c'est-à-dire l'agencement des feuilles et des pétales sur les plantes et les fleurs, qui est souvent en rapport avec les nombres de Fibonacci et le nombre d'or.
